Квадратные уравнения: формулы решения, дискриминант, корни. Примеры квадратных уравнений, графики.

1. Общий вид квадратного уравнения

Квадратное уравнение, или алгебраическое уравнение 2–й степени с одним неизвестным в общем виде записывается следующим образом:

ax² + bx + c = 0,

где:

a, b, c — известные коэффициенты, причем a ≠ 0.
x — неизвестное.

Пример.

3x² + 8x - 5 = 0.

2. Виды квадратных уравнений

Разделив обе части уравнения на a, получим приведенное квадратное уравнение:

x² + px + q = 0,

где:

p = b/a
q = c/a

Если один из коэффициентов b, c или оба одновременно равны 0, то квадратное уравнение называется неполным.

Примеры.

x²+8x-5=0 — полное приведенное квадратное уравнение.
3x²-5=0 — не полное не приведенное квадратное уравнение.
x²-8x=0 — не полное приведенное квадратное уравнение.

Неполное квадратное уравнение вида

x² = m

самое простое и самое важное, т.к. к нему приводится решение всякого квадратного уравнения.

Возможны три случая:

m = 0, x = 0
m > 0, x = ±√‾m
m < 0, x = ±i√‾m. Где i — мнимая единица, равная √‾-1.

3. Решение квадратного уравнения

Корни неприведенного полного квадратного уравнения находятся по формуле

x = (-b ± √‾(b² - 4ac)) / 2a

Пример:

3x² - 7x + 4=0

x = (7 ± √‾(7² - 4×3×4)) / (2×3)

x = (7 ± √‾(1)) / 6

x₁ = 4/3

x₂ = 1

4. Свойства корней квадратного уравнения. Дискриминант.

Согласно формуле корней квадратного уравнения могут быть три случая, определяемых подкоренным выражением (b² - 4ac). Оно называется дискриминантом (различающим).

Обозначая дискриминант буквой D, можно записать:

D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.
D = 0, уравнение имеет два равных между собой действительных корня.
D < 0, уравнение имеет два различных мнимых корня.