Логарифм. Определение двоичного логарифма, натурального логарифма, десятичного логарифма; экспоненциальной функции exp(x), числа e. Log, Ln. Формулы степеней и логарифмов. Использование логарифма, децибел.

1. Степень числа

1.1. Определение степени для целого показателя степени

X1 = X
X2 = X * X
X3 = X * X * X
…
XN = X * X * … * X  — N раз

1.2. Нулевая степень.

По определению принято считать, что нулевая степень любого числа равна 1:

X0 = 1

1.3. Отрицательная степень.

X-N = 1/XN

1.4. Дробная степень, корень.

X1/N = корень степени N из Х.

Например:X1/2 = √X.

1.5. Формула сложения степеней.

X(N+M) = XN*XM

1.6.Формула вычитания степеней.

X(N-M) = XN/XM

1.7. Формула умножения степеней.

XN*M = (XN)M

1.8. Формула возведения дроби в степень.

(X/Y)N = X N/Y N

2. Число e.

Значение числа e равно следующему пределу:

e = lim(1+1/N), при N → ∞.

С точностью 17 знаков число e равно 2.71828182845904512.

3. Равенство Эйлера.

Это равенство связывает пять чисел, играющих особую роль в математике: 0, 1, число e, число пи, мнимую единицу.

e(i*пи) + 1 = 0

4. Экспоненциальная функция exp (x)

exp(x) = ex

5. Производная экспоненциальной функции

Экспоненциальная функция обладает замечательным свойством: производная функции равна самой экспоненциальной функции:

(exp(x))' = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Определение функции логарифм

Если x = b^y, то логарифмом называется функция

y = Logb(x).

Логарифм показывает в какую степень надо возвести число - основание логарифма (b), чтобы получить заданное число (X). Функция логарифм определена для X больше нуля.

Например:Log10(100) = 2.

6.2. Десятичный логарифм

Это логарифм по основанию 10:

y = Log10(x).

ОбозначаетсяLog(x):  Log(x) = Log10(x).

Пример использования десятичного логарифма — децибел.

6.3. Децибел

Пункт выделен в отдельную страницу Децибел

6.4. Двоичный логарифм

Это логарифм по основанию 2:

Y = Log2(x).

ОбозначаетсяLg(x):  Lg(x) = Log2(X)

6.5. Натуральный логарифм

Это логарифм по основанию e:

y = Loge(x).

ОбозначаетсяLn(x):  Ln(x) = Loge(X)
Натуральный логарифм — обратная функция к экспоненциальной функции exp (X).

6.6. Характерные точки

Loga(1) = 0
Loga(a) = 1

6.7. Формула логарифма произведения

Loga(x*y) = Loga(x)+Loga(y)

6.8. Формула логарифма частного

Loga(x/y) = Loga(x)-Loga(y)

6.9. Формула логарифма степени

Loga(xy) = y*Loga(x)

6.10. Формула преобразования к логарифму с другим основанием

Logb(x) = (Loga(x))/Loga(b)

Пример:

Log₂(8) = Log₁₀(8)/Log₁₀(2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формулы полезные в жизни

Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача -- пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича.